Sejarah Matematika
Kata “matematika” berasal dari kata μάθημα (máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai “sains, ilmu pengetahuan, atau belajar” juga μαθηματικός (mathematikós) yang diartikan sebagai “suka belajar ilmu matematika telah banyak dikenal orang pada masa pra sejarah. Banyak ditemukan berbagai tulisan matematika di berbagai wilayah yang merupakan sisa peninggalan zaman prasejarah, di antaranya :
a) matematika Babilonia tahun 1900 SM, ditemukan oleh Plimpton;
b) matematika Moskow di Mesir tahun 1850 SM;
c) matematika Rhind di Mesir tahun 1650 SM;
d) sulbha sutra / matematika India tahun 800 SM.
Matematika tumbuh dan berkembang karena proses berpikir. Oleh karena itu logika merupakan dasar untuk terbentuknya matematika. Logika adalah bayi matematika, sebaliknya matematika adalah masa dewasa logika.
Pada awal perkembangan matematika di Indonesia setelah penjajahan Belanda dan Jepang, digunakan istilah ”Ilmu Pasti” untuk matematika. Dalam penyelenggaraan di sekolah digunakan berbagai istilah cabang matematika seperti (1) Ilmu Ukur, (2) Aljabar, (3) Trigonometri, (4) Goniometri, (5) Stereometri, (6) Ilmu Ukur Lukis, dan lain sebagainya.
Sejarah matematika termasuk bagian dari matematika. Sejarah matematika tidak saja ada karena keberadaannya merupakan suatu keniscayaan, tetapi ia juga penting karena dapat memberi pengaruh kepada perkembangan matematika dan pembelajaran matematika.
Matematika yang ”diciptakan” oleh manusia terdahulu, memberi ilham bagi paradigma pembelajaran yang bersifat konstruktivistik sebagai bentuk implikasi sejarah matematika dalam pembelajaran. Siswa-siswi diperbolehkan menggunakan usahanya sendiri dalam menyelesaikan masalah matematika. Bahkan, siswa dan siswi diberi kebebasan dalam menggunakan bahasa dan lambangnya sendiri. Paradigma semacam ini menjadi suatu kecenderungan dalam pembelajaran matematika realistik atau konstruktivis. Perkembangan matematka dalam diri individu (ontogeny) mungkin saja mengikuti cara yang sama dengan perkembangan matematika itu sendiri (phylogeny).
Sejarah matematika meliputi beberapa dimensi berbeda, yaitu (1) sebagai materi pembelajaran kuliah, (2) sebagai konteks materi pembelajaran, (3) sebagai sumber strategi pembelajaran. Di samping itu, dalam penggunaannya sejarah matematika mempunya beberapa manfaat, di antaranya:
a) Understanding, yaitu bahwa dengan mengikuti jalan perkembangan suatu konsep matematika bahwa siswa-siswi akan lebih memahami konsep tersebut;
b) Enthusiasm, yaitu penggunaan sejarah matematika dapat meningkatkan motivasi, kesenagan dan kepercayaan diri dalam belajar matematika;
c) Skill, yaitu dengan menelaah suatu tema dalam sejarah matematika, siswa-siswi diajak untuk belajar keterampilan meneliti, selain keterampilan matematika.
1.2 Tahapan dalam Matematika
Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah, dan pemprediksian peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika: struktur, ruang, dan perubahan.
a) Pelajaran tentang struktur dimulai dengan bilangan. Pertama dan yang sangat umum adalah bilangan natural dan bilangan bulat berikut operasi arimetikanya, yang dijabarkan dalam aljabar dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan.
b) Ilmu tentang ruang berawal dari geometri, yaitu geometri Euclid dan trigonometri dari ruang tiga dimensi (yang juga dapat diterapkan ke dimensi lainnya), kemudian belakangan juga digeneralisasi ke geometri Noneuclid yang memainkan peran sentral dalam teori relativitas umum. Bidang ilmu modern tentang geometri diferensial dan geometri aljabar menggeneralisasikan geometri ke beberapa arah: geometri diferensial menekankan pada konsep fungsi, buntelan, derivatif, smoothness, dan arah. Sementara itu, dalam geometri aljabar, objek-objek geometris digambarkan dalam bentuk sekumpulan persamaan polinomial.
c) Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus dibangun sebagai alat untuk tujauan tersebut. Konsep utama yang digunakan untuk menjelaskan perubahan variabel adalah fungsi. Banyak permasalahan yang berujung secara alamiah kepada hubungan antara kuantitas dan laju perubahannya, dan metoda untuk memecahkan masalah ini adalah topik dari persamaan differensial.
d) Untuk merepresentasikan kuantitas yang terus menerus digunakanlah bilangan riil. Di sisi lain, studi mendetail dari sifat-sifatnya dan sifat fungsi nilai riil dikenal sebagai analisis riil. Agar dapat menjelaskan dan menyelidiki dasar matematika, bidang teori pasti, logika matematika, dan teori model dikembangkan. Bidang-bidang penting dalam matematika terapan ialah statistik, yang menggunakan teori probabilitas sebagai alat dan memberikan deskripsi itu, analisis dan perkiraan fenomena dan digunakan dalam seluruh ilmu. Analisis bilangan menyelidiki teori yang secara tepat guna memecahkan bermacam masalah matematika secara bilangan pada komputer dan mengambil kekeliruan menyeluruh ke dalam laporan.
1.3 Pengertian Matematika
Apa sebenarnya matematika itu? Pada saat berbicara tentang matematika, yang terbayang dalam pikiran kita selalu tentang “bilangan”, “angka”, “simbol-simbol”, atau “perhitungan”. Pakar yang sangat tertarik dengan perilaku bilangan, melihat matematika dari sudut bilangan. Pakar lain lebih mencurahkan perhatian kepada struktur-struktur, dengan melihat matematika dari sudut pandang struktur-strukturnya. Pakar lain lebih tertarik pada pola pikir atau sistematika, maka ia melihat matematika dari sudut pandang sistematikanya.
Adakah definisi tunggal matematika yang disepakati bersama? Berdasarkan uraian di atas, beberapa definisi atau ungkapan pengertian matematika hanya dikemukakan terutama berfokus pada sudut pandang pembuat definsi tersebut. Hal demikian dikemukakan dengan maksud agar pembaca dapat menangkap dengan mudah keseluruhan pandangan para ahli matematika. Dengan kata lain tidak terdapat satu definisi yang tunggal dan disepakati oleh semua tokoh atau pakar matematika.
Di bawah ini disajikan beberapa definisi atau pengertian tentang matematika.
• Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan yang eksak dan terorganisasi secara sistematik.
• Matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasinya.
• Matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logis dan berhubungan dengan bilangan.
• Matematika adalah pengetahuan tentang fakta-fakta kuantitatif dan masalah tentang ruang dan bentuk.
• Matematika adalah pengetahuan tentang struktur-struktur yang logis.
• Matematika adalah pengetahuan tentang aturan-aturan yang ketat.
Dengan begitu banyak cabang matematika dan begitu luas lapangan garapnya, bagaimana kita dapat menggambarkan matematika secara sederhana? Jadi, bila kita harus menjawab pertanyaan matematika itu apa, maka kita hanya bisa mendeskripsikan beberapa sifatnya. Dengan cara begini pula para ahli telah mendeskripsikan matematika. Sebagian definisi begitu sederhana dan sebagian yang lain cukup kompleks, tetapi tidak ada deskripsi yang menjadi suatu definisi formal matematika. Apa saja sifat-sifat yang sering digunakan para ahli untuk mendeskripsikan matematika? Pada topik berikutnya kita akan membahas sifat atau karakteristik tersebut beserta implikasinya pada pembelajaran matematika.
1.4 Beberapa Contoh Sejarah Perkembangan Matematika
Contoh 1: Pembelajaran yang Realistik/Konstruktivis
Pemahaman pembagian sebagai distribusi sesungguhnya tidak membutuhkan ”ceramah” dari guru, karena siswa memiliki potensi untuk ”menemukan” konsep tersebut. Lalu daripada langsung menyuguhkan lambang formal semacam 36 : 3, guru dapat menggunakan soal yang kontekstual, seperti di bawah ini.
Tiga anak akan membagi 36 permen sama rata. Berapa permen yang akan diperoleh oleh tiap-tiap anak?
Kata “matematika” berasal dari kata μάθημα (máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai “sains, ilmu pengetahuan, atau belajar” juga μαθηματικός (mathematikós) yang diartikan sebagai “suka belajar ilmu matematika telah banyak dikenal orang pada masa pra sejarah. Banyak ditemukan berbagai tulisan matematika di berbagai wilayah yang merupakan sisa peninggalan zaman prasejarah, di antaranya :| Gambar 1.2. Anak dan Kumpulan Permen |
Siswa-siswi mungkin akan menemukan salah satu dari model atau prosedur penyelesaian berikut ini:
a) Membagi dengan dasar geometris, yaitu dengan membagi susunan permen menjadi tiga daerah bagian yang sama.
b) Mendistribusi satu demi satu. Mungkin dengan menyilang permen yang telah didistribusi ke salah satu anak.
c) Mengelompokkan tiga-tiga. Mungkin dengan pertimbangan setiap kali permen didistribusi, akan terdistribusi ke tiga orang anak.
Model atau strategi penyelesaian tersebut di atas secara implisit memuat ide tentang pengurangan berulang (repeated subraction) maupun bagi adil (fair sharing), bahkan ide tentang kebalikan perkalian (invers of mmultiplication). Tugas guru adalah memfasilitasi siswa-siswi sampai pada ide-ide tersebut sebelum benar-benar menyatakannya sebagai kalimat matematika formal (penggunaan simbol dan konsep/prinsip matematika).
Contoh 2: Sejarah Bilangan Negatif dan Bilangan Positif di Cina Kuno
Di Cina, penggunaan bilangan positif ditandai dengan batang (atau gambar batang) merah, sedangkan bilangan negatif ditandai dengan batang hitam. Mungkin ini telah dikenal ribuan tahun yang lalu, dan kita dapat melihatnya pada Jianzhong Suanshu (antara tahun 206 SM – 220 M). Apa yang digunakan oleh orang Cina Kuno tersebut dapat digunakan dalam pembelajaran untuk menunjukkan bilangan bulat (bulat positif, nol, dan bulat negatif). Illustrasi dari Cina kuno dapat digunakan untuk menunjukkan sifat negatif sebagai hutang dan positif sebagai piutang (atau mempunya).
Contoh 3: Batang Napier dalam Pembelajaran aturan perkalian
John Napiler (1550 – 1617) dalam bukunya Rabdologiae yang diterbitkan tahun 1617 menyuguhkan sebuah alat melakukan perkalian yang disebut Batang Napiler dan menjadi terkenal pada zamannya. Alat tersebut menggunakan prinsip perkalian desimal yang telah dikenal di Arab melalui apa yang disebut lattice diagram.
Sebuah batang Napiler terdiri atas 10 kotak, dengan kotak teratas menunjukkan sebuah bilangan dasar (digit) dan kotak selanjutnya berturut-turut merupakan hasil perkalian bilangan dasar tersebut dengan bilangan 1 hingga 9 dengan bagian satuan diletakkan di posisi tengah diagonal dan bagian puluhan diletakkan di bagian atas diagonal.
Sebagai contoh: bilangan 1615 dikalikan dengan bilangan 365. Cara menyelesaikannya adalah (a) susun Batang Napiler 1, 6, 1, dan 5; (b) perhatikan bahwa hasil 3 x 1615 ditunjukkan oleh bilangan dalam tiap daerah diagonal yaitu 4 (dari 3 + 1), 8 (dari 8 + 0), 4 (dari 3 + 1) dan 5 (dari 5 saja), sehingga hasilnya 4845. (c) Demikian seterusnya untuk perkalian 5 (1615) dan 6 (1615). (d) Jumlahkan ketiga hasil sesuai urutan posisi bilangan pengali. Hal ini dapat dilihat pada gambar berikut.
Gambar 1.3 Batang Napier
